ISOMORFIK (GRAF)

Graf Isomorfik

·        Diketahui matriks ketetanggaan (adjacency matrices) dari sebuah graf tidak berarah. Gambarkan dua buah graf yang yang bersesuaian dengan matriks tersebut.

Jawaban:

            

      

·        Dua buah graf yang sama (hanya penggambaran secara geometri berbeda)

è isomorfik!

Graf Isomorfik

·        Dua buah graf yang sama tetapi secara geometri berbeda disebut graf yang saling isomorfik. 

·        Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisisisi keduaya sedemikian sehingga hubungan kebersisian tetap terjaga. 

·        Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisisisi keduaya sedemikian sehingga hubungan kebersisian tetap terjaga. 

·         Dengan kata lain, misalkan sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G1, maka sisi e’ yang berkoresponden di G2 harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ yang di G2.

·        Dua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama, kecuali penamaan simpul dan sisinya saja yang berbeda.  Ini benar karena sebuah graf dapat digambarkan dalam banyak cara.

Dari definisi graf isomorfik dapat dikemukakan bahwa dua buah graf isomorfik memenuhi ketiga syarat berikut [DEO74]: 1. Mempunyai jumlah simpul yang sama. 2. Mempunyai jumlah sisi yang sama 3. Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu

Namun, ketiga syarat ini ternyata belum cukup menjamin. Pemeriksaan secara visual perlu dilakukan.

Graf Planar (Planar Graph) dan Graf Bidang (Plane Graph)

·        Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi tidak saling memotong (bersilangan) disebut graf planar,

·        jika tidak, maka ia disebut graf tak-planar.

·        K4 adalah graf planar:

·        K5 adalah graf tidak planar:

Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan disebut graf bidang (plane graph).

Aplikasi Graf Planar

Persoalan utilitas (utility problem)

 

Aplikasi Graf Planar

·        Perancangan IC (Integrated Circuit)

·        Tidak boleh ada kawat-kawat di dalam ICboard yang saling bersilangan  dapat menimbulkan interferensi arus listrik  malfunction

·        Perancangan kawat memenuhi prinsip graf planar

Teorema Kuratoswki

Berguna untuk menentukan dengan tegas keplanaran suat graf. 

Gambar (a) Graf Kuratowski pertama (K5)     
(b) Graf Kuratowski kedua (K3, 3)        
(c) Graf yang isomorfik dengan graf Kuratowski kedua.

Kazimierz Kuratowski (February 2, 1896 – June 18, 1980) was a Polish mathematician and logician. He was one of the leading representatives of the Warsaw School of Mathematics. (Sumber: Wikipedia)

Sifat graf Kuratowski adalah: 1. Kedua graf Kuratowski adalah graf teratur. 2. Kedua graf Kuratowski adalah graf tidak-planar 3. Penghapusan sisi atau simpul dari graf Kuratowski menyebabkannya menjadi graf planar. 4. Graf Kuratowski pertama adalah graf tidak-planar dengan jumlah simpul minimum, dan graf Kuratowski kedua adalah graf tidak-planar dengan jumlah sisi minimum. 

TEOREMA Kuratowski. Graf G bersifat planar jika dan hanya jika ia tidak mengandung upagraf yang isomorfik dengan salah satu graf Kuratowski atau homeomorfik (homeomorphic) dengan salah satu dari keduanya.

Contoh: Kita gunakan Teorema Kuratowski untuk memeriksa keplanaran graf. Graf G di bawah ini bukan graf planar karena ia mengandung upagraf (G1) yang sama dengan K3,3.

Graf G tidak planar karena ia mengandung upagraf (G1) yang homeomorfik dengan K5 (dengan membuang simpul-simpul yang berderajat 2 dari G1, diperoleh K5).

Gambar Graf G, upagraf G1 dari G yang homeomorfik dengan K5.

Lintasan dan Sirkuit Euler

·        Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam graf tepat satu kali. 

·        Sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali.. 

·        Graf yang mempunyai sirkuit Euler disebut graf Euler (Eulerian graph). Graf yang mempunyai lintasan Euler dinamakan juga graf semi-Euler (semi-Eulerian graph).

Contoh.  Lintasan Euler pada graf (a) : 3, 1, 2, 3, 4, 1 Lintasan Euler pada graf (b) : 1, 2, 4, 6, 2, 3, 6, 5, 1, 3 Sirkuit Euler pada graf (c)    : 1, 2, 3, 4, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6, 1 Sirkuit Euler pada graf (d)    : a, c, f,  e, c, b, d, e, a, d, f, b, a Graf (e) dan (f) tidak mempunyai lintasan maupun sirkuit Euler

TEOREMA. Graf tidak berarah memiliki lintasan Euler jika (graf semi-Euler) dan hanya jika terhubung dan memiliki dua buah simpul berderajat ganjil atau tidak ada simpul berderajat ganjil sama sekali.

TEOREMA. Graf tidak berarah G adalah graf Euler (memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiap simpul berderajat genap.

TEOREMA.  (a) Graf berarah G memiliki sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama.  (b) G memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama kecuali dua simpul, yang pertama memiliki derajat-keluar satu lebih besar derajat-masuk, dan yang kedua memiliki derajat-masuk satu lebih besar dari derajat-keluar.

Gambar:    (a) Graf  berarah Euler (a, g, c, b, g, e, d, f, a)                  

(b) Graf berarah semi-Euler (d, a, b, d, c, b)         

(c) Graf berarah bukan Euler maupun semi-Euler

Lintasan dan Sirkuit Hamilton

·        Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali. 

·        Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui dua kali.

·        Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton, sedangkan graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton. 

(a) graf yang memiliki lintasan Hamilton (misal: 3, 2, 1, 4)

(b) graf yang memiliki lintasan Hamilton (1, 2, 3, 4, 1)

(c) graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton

TEOREMA.  Syarat cukup supaya graf sederhana G dengan n ( 3) buah simpul adalah graf Hamilton ialah bila derajat tiap simpul paling sedikit n/2 (yaitu, d(v)  n/2 untuk setiap simpul v di  G).  (coba nyatakan dalam “jika p maka q”)

TEOREMA.  Setiap graf lengkap adalah graf Hamilton.

TEOREMA. Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n  3), terdapat (n – 1)!/2 buah sirkuit Hamilton.

TEOREMA. Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n  3 dan n ganjil), terdapat (n – 1)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas (tidak ada sisi yang beririsan). Jika n genap dan n   4, maka di dalam G terdapat (n – 2)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas.

Contoh. Sembilan anggota sebuah klub bertemu tiap hari untuk makan siang pada sebuah meja bundar. Mereka memutuskan duduk sedemikian sehingga setiap anggota mempunyai tetangga duduk berbeda pada setiap makan siang. Berapa hari pengaturan tersebut dapat dilaksanakan? 

Jawaban: Jumlah pengaturan tempat duduk yang berbeda adalah (9 – 1)/2 = 4.

Beberapa graf dapat mengandung sirkuit Euler dan sirkuit Hamilton sekaligus, mengandung sirkuit Euler tetapi tidak mengandung sirkuit Hamilton, dan sebagainya.

Beberapa Aplikasi Graf

·        Lintasan terpendek (shortest path) (akan dibahas pada kuliah IF3051)

·        Persoalan pedagang keliling (travelling salesperson problem)

·        Persoalan tukang pos Cina (chinese postman problem)

·        Pewarnaan graf (graph colouring)

Persoalan Pedagang Keliling (travelling salesperson problem (TSP)

Diberikan sejumlah kota dan diketahui jarak antar kota. Tentukan tur terpendek yang harus dilalui oleh seorang pedagang bila pedagang itu berangkat dari sebuah kota asal dan menyinggahi setiap kota tepat satu kali dan kembali lagi ke kota asal keberangkatan.

==> menentukan sirkuit Hamilton yang memiliki bobot minimum.       

     

Aplikasi TSP:

1.     1.Pak Pos mengambil surat di kotak pos yang tersebar pada n buah lokasi di berbagai sudut kota.

2.     Lengan robot mengencangkan n buah mur pada beberapa buah peralatan mesin dalam sebuah jalur perakitan.

3.     Produksi n komoditi berbeda dalam sebuah siklus.

          

I1 = (a, b, c, d, a)  bobot = 10 + 12 + 8 + 15 = 45 I2 = (a, c, d, b, a)  bobot = 12 + 5 + 9 + 15 = 41 I3 = (a, c, b, d, a)  bobot = 10 + 5 + 9 + 8 = 32

Sirkuit Hamilton terpendek: I3 = (a, c, b, d, a) dengan bobot = 10 + 5 + 9 + 8 = 32.

• Jika jumlah simpul n = 20 akan terdapat (19!)/2 sirkuit Hamilton atau sekitar 6  1016 penyelesaian.

Persoalan Tukang Pos Cina (Chinese Postman Problem)

·        Dikemukakan oleh Mei Gan (berasal dari Cina) pada tahun 1962.

·        Persoalan: seorang tukang pos akan mengantar surat ke alamat-alamat sepanjang jalan di suatu daerah. Bagaimana ia merencanakan rute perjalanannya supaya ia melewati setiap jalan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat awal keberangkatan?

è menentukan sirkuit Euler di dalam graf

Lintasan yang dilalui tukang pos: A, B, C, D, E, F, C, E, B, F, A.

·        Jika graf yang merepresentasikan persoalan adalah graf Euler, maka sirkuit Eulernya mudah ditemukan.

·        Jika grafnya bukan graf Euler, maka beberapa sisi di dalam graf harus dilalui lebih dari sekali.

·        Jadi, pak pos harus menemukan sirkuit yang mengunjungi setiap jalan paling sedikit sekali dan mempunyai jarak terpendek.

Persoalan tukang pos Cina menjadi:

Seorang tukang pos akan mengantar surat ke alamatalamat sepanjang jalan di suatu daerah. Bagaimana ia merencanakan rute perjalanannya yang mempunyai jarak terpendek supaya ia melewati setiap jalan paling sedikit sekali dan kembali lagi ke tempat awal keberangkatan

Pewarnaan Graf

·        Ada dua macam: pewarnaan simpul, dan pewarnaan sisi

·        Hanya dibahas perwarnaan simpul

·        Pewarnaan simpul: memberi warna pada simpul-simpul graf sedemikian sehingga dua simpul bertetangga mempunyai warna berbeda.

·        Aplikasi pewarnaan graf: mewarnai peta.

·        Peta terdiri atas sejumlah wilayah.

·        Wilayah dapat menyatakan kecamatan, kabupaten, provinsi, atau negara.

·        Peta diwarnai sedemikian sehingga dua wilayah bertetangga mempunyai warna berbeda.

·        Nyatakan wilayah sebagai simpul, dan batas antar dua wilayah bertetangga sebagai sisi.

·        Mewarnai wilayah pada peta berarti mewarnai simpul pada graf yang berkoresponden.

·        Setiap wilayah bertetangga harus mempunyai warna berbeda à warna setiap simpul harus berbeda.

Gambar 8.72

(a) Peta

(b) Peta dan graf yang merepresentasikannya,

(c) Graf yang merepresentasikan peta,

(d) Pewarnaan simpul, setiap simpul mempunai warna berbeda,

(e) Empat warna sudah cukup untuk mewarnai 8 simpul

·         Bilangan kromatik: jumlah minimum warna yang dibutuhkan untuk mewarnai peta.

·        Simbol: ƛ(G).

·         Suatu graf G yang mempunyai bilangan kromatis k dilambangkan dengan ƛ(G) = k.

·        Graf di bawah ini memiliki ƛ(G) = 3

·        Graf kosong Nn memiliki ƛ(G) = 1, karena semua simpul tidak terhubung, jadi untuk mewarnai semua simpul cukup dibutuhkan satu warna saja.

·        Graf lengkap Kn memiliki (G) = n sebab semua simpul saling terhubung sehingga diperlukan n buah warna.

·        Graf bipartit Km,n mempunyai (G) = 2, satu untuk simpul-simpul di himpunan V1 dan satu lagi untuk simpul-simpul di V2.

·        Graf lingkaran dengan n ganjil memiliki ƛG) = 3, sedangkan jika n genap maka ƛG) = 2.

·        Sembarang pohon T memiliki ƛT) = 2.

·        Untuk graf-graf yang lain tidak dapat dinyatakan secara umum bilangan kromatiknya.

·        Perkembangan teorema pewarnaan graf: TEOREMA 1. Bilangan kromatik graf planar  6. TEOREMA 2. Bilangan kromatik graf planar  5. TEOREMA 3. Bilangan kromatik graf planar  4.

·        eorema 4 berhasil menjawab persoalan 4-warna (yang diajuka pada abad 19): dapatkah sembarang graf planar diwarnai hanya dengan 4 warna saja?

·        Jawaban dari persoalan ini ditemukan oleh Appel dan Haken yang menggunakan komputer untuk menganalisis hampir 2000 graf yang melibatkan jutaan kasus

·        Aplikasi lain pewarnaan graf: penjadwalan.

Misalkan terdapat delapan orang mahasiswa (1, 2, …, 8) dan lima buah mata kuliah yang dapat dipilihnya (A, B, C, D, E). Tabel berikut memperlihatkan matriks lima mata kuliah dan delapan orang mahasiswa. Angka 1 pada elemen (i, j) berarti mahasiswa i memilih mata  kuliah j, sedangkan angka 0 menyatakan mahasiswa i tidak memilih mata kuliah j.

Berapa paling sedikit jumlah hari yang dibutuhkan untuk jadwal ujian tersebut sedemikian sehingga semua mahasiswa dapat mengikuti ujian mata kuliah yang diambilnya tanpa bertabrakan waktunya dengan jadwal ujian kuliah lain yang juga diambilnya?

Penyelesaian: simpul  mata kuliah sisi  ada mahasiswa yang mengambil kedua mata kuliah (2 simpul)

Gambar 8.74. 

(a)  Graf persoalan penjadwalan ujian 5 mata kuliah untuk 8 orang mahasiswa        

(b) Hasil pewaranan pada simpul-simpul graf

• Bilangan kromatik graf pada Gambar 8.74 adalah 2.

• Jadi, ujian mata kuliah A, E, dan D dapat dilaksanakan bersamaan, sedangkan ujian mata kuliah B dan C dilakukan bersamaan tetapi pada waktu yang berbeda dengan mata kuliah A, E, dan D.