Relasi Dan Fungsi

Relasi Dan Fungsi

 Relasi

Relasi adalah aturan yang menghubungkan setiap anggota himpunan A ke himpunan B. Dimana disebut domain (daerah asal) dan B disebut kodomain (daerah kawan). Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota anggota himpunan B. Dalam mengerjakan soal relasi dapat dikerjakan menggunakan:

1.)    Diagram Panah

2.)    Tabel

Nama Olahraga	Voli	Basket	Tenis
Cici	1	0	0
Caca	1	1	0
Andi	1	1	1
Bejo	0	0	1

3.)    Diagram Cratesius

4.)    Himpunan pasangan berurutan
{(Cici, Voli), (Caca, Voli), (Caca, Basket), (Andi, Voli), (Andi, Basket), (Andi, Tenis), (Bejo, Tenis)}

Ø  Sifat-Sifat Relasi

1.) R adalah refleksif jika aRa untuk setiap a di A.
     Contoh:
 A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka:

·         Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4).

·         Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak bersifat refleksif karena (3, 3) Ï R.

2.) R adalah simetris (setangkup) jika aRb maka bRa  dan R adalah anti simetris (tolak
     setangkup) jika aRb dan bRa maka a = b.
     Contoh:
     Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

·         Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } bersifat setangkup karena jika (a, b) ΠR maka (b, a) juga ΠR. Di sini (1, 2) dan (2, 1) ΠR, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) ΠR.

·         Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak setangkup karena (2, 3) ΠR, tetapi (3, 2) Ï R.

·         Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } tolak-setangkup karena 1 = 1 dan (1, 1) ΠR, 2 = 2 dan (2, 2) ΠR, dan 3 = 3 dan (3, 3) ΠR. Perhatikan bahwa R juga setangkup.

·         Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3) } tolak-setangkup karena (1, 1) ΠR dan 1 = 1 dan, (2, 2) ΠR dan 2 = 2 dan. Perhatikan bahwa R tidak setangkup.

·         Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak tolak-setangkup karena 2 ¹ 4 tetapi (2, 4) dan (4, 2) anggota R. Relasi R pada (a) dan (b) di atas juga tidak tolak-setangkup.

·         Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } setangkup dan juga tolak-setangkup, dan R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3)} tidak setangkup tetapi tolak-setangkup.

3.) Relasi R pada himpunan A disebut menghantar (transitif)  jika (a, b) ΠR dan (b, c) ΠR, maka (a, c) ΠR, untuk a, b, c Î A.

Contoh:

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar. Lihat tabel berikut: 

Pasangan berbentuk

(a, b)      (b, c) (a, c)

(3, 2)       (2, 1) (3, 1)

(4, 2)       (2, 1) (4, 1)

(4, 3)       (3, 1) (4, 1)

(4, 3)       (3, 2) (4, 2)

Ø  Relasi Kesetaraan

Definisi; Relasi pada himpunan disebut relasi kesetaraan(equivalence relation) jika

ia refleksif, setangkup (simetri) dan menghantar (Transitif).

Contoh:

A = {1,2,3}

R = {(1,1),(1,2), (1,3),(2,1), (2,2),(2,3), (3,1),(3,2),(3,3)}

Refleksif = {(1,1),(2,2), (3,3)}

Transitif = {(1,2),(2,1), (1,1),(2,3), (3,2),(2,2), (3,1),(1,3),(3,3)}

Simeris ={(1,2),(2,1), (1,3),(3,1), (3,1),(2,3), (3,2)}

Ø  Relasi Pengurutan Parsial

Definisi : Relasi R pada himpunan S dikatakan relasi pengurutan parsial jika ia refleksif, tolak setangkup, dan menghantar. Himpunan S bersama-sama dengan relasi R disebut himpunan terurut sacara parsial, dan dilambangkan dengan (S, R).

Contoh:

A = {1,2,3}

R = {(1,1),(2,3), (2,2),(3,1), (3,3),(2,1)}

Refleksif = {(1,1),(2,2), (3,3)}

Transitif = {(2,3),(3,1), (2,1) }

Simeris ={(2,3),(3,1), (2,1)}

Fungsi 
fungsi adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range). 

Pada fungsi, terdapat beberapa istilah penting, di antaranya:

ü  Domain yaitu daerah asal fungsi f dilambangkan dengan Df.

ü  Kodomain yaitu daerah kawan fungsi f dilambangkan dengan Kf.

ü  Range yaitu daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari
   kodomain. Range fungsi fdilambangkan dengan Rf.

Ø  Sifat-Sifat Fungsi
1.) Onto (surjektif) , apabila semua anggota di kodomain B punya pasangan.

      Contoh :
      Diberikan Himpunan A = {2,3,5} dan B = {6,7} jika F : A → B dengan F
      = { (2,6), (3,6), (5,7) } apakah fungsi f adalah fungsi onto (surjektif)? YA

2.) Into , semua anggota A harus terisi semua sedaang di B tidak apa-apa bila tidak
     terisi semua.
     Contoh:
     Deketahui himpunan A= {ayam,burung,sapi,kambing} dan B =
    {omnivora,karnivo,herbivora} jika F : A → B dengan F =

    {(ayam,omnivora), (burung,omnivora), (sapi,herbivora), (kambing,herbivora)}
    terjadi apakah fungsi F adalah into? YA

3.) Bijektif (satu-satu), gabungan dari injektif dan surjektif dimana anggota di A harus
     punya pasangan yang berbeda dan anggota B harus terisi semua serta isi domain

     dan kodomain harus sama (maksud nya jika anggota A 4 maka anggota B juga

     harus 4).

     Contoh :
      Diberikan Himpunan A = {1,2,3} dan B = {a,b,c} jika F : A → B dengan F
      = { (1,a), (2,c), (3,b) } apakah fungsi f adalah fungsi bijektif? YA